Решение задач линейного программирования.

   Алгебра симплекс-метода.

Существо симплекс-метода состоит в нахождении допустимого базисного решения. Его можно найти, приняв какие-либо  переменных за свободные, приравняв их к нулю и решив систему уравнений (1). Если при этом некоторые из базисных переменных окажутся отрицательными, то нужно выбрать другие свободные переменные, т.е. перейти к новому базису. управленческий учет в строительстве

После того как найдено допустимое базисное решение, проверяем, не достигнут ли уже максимум целевой функции q. Если нет, то ищем новое допустимое базисное решение, но не любое, а такое, которое увеличивает значение целевой функции . Затем процедура повторяется. Этот метод довольно быстро приводит к цели, т.к. позволяет исключить из рассмотрения большое число базисных решений, заведомо не обращающих в максимум целевую функцию. изменения ЕСН

Разберем этот метод на рассмотренном выше примере.

Обратимся к системе уравнений (4), для которой требуется найти неотрицательное решение, обращающее в максимум целевую функцию (5). Поскольку , то в качестве свободных можно взять любые две переменные, например, и . Положив их равными нулю, из (4) находим базисное решение.1с для строительства

Которое является допустимым и при этом максимум целевой функции .НОМНЕТ

Проверка того достигнут или нет максимум целевой функции, при найденном решении связано с поиском нового базисного решения, при котором целевая функция будет больше. автоматизация  учета

Для перехода к новому допустимому базисному решению одну из свободных переменных   или  следует сделать базисной. При этом она будет отлична от нуля, т.е. возрастет. Следовательно, если какая-либо из свободных переменных входит в выражение для целевой функции со знаком '+', т.е. при ее увеличении целевая функция увеличивается, то максимум целевой функции не достигнут и данную переменную следует превратить в базисную, сделав ее отличной от нуля.

Однако, при возрастании свободной переменной некоторые из базисных переменных начнут уменьшаться. Т.к. отрицательные значения переменных недопустимы, в качестве новой свободной переменной следует взять одну из базисных, которая раньше любых обратиться в нуль.

В нашем примере в выражение целевой функции (5) со знаком '+' входит свободная переменная . Значит, максимум целевой функции не достигнут и переменную  следует сделать базисной.

Для определения новой свободной переменной выразим базисные переменные через свободные, приведя уравнения (4) к виду (6).

Из этих уравнений видим, что при  увеличение  не приводит к уменьшению , но в разной степени уменьшает  и  , так что при получаем , . Поэтому свободной следует сделать , что приводит к новому базису .

Для продолжения разрешим систему (4) относительно новых переменных , выразив их через

Тогда получим:

                  (8)

Выразим также через новые свободные переменные  и , и целевую функцию.

                        (9)

Повторяя проведенные ранее рассуждения, приходим к выводу, что максимум целевой функции не достигнут и свободную переменную  следует перевести в базисную, а базисную  в свободную.

Действительно, положим в (8)  и  равными нулю и определим значения базисных переменных.

Откуда следует, что базисное решение является допустимым. При этом целевая функция q=2.

Из (9) видно, что  входит в выражение целевой функции со знаком '+' и при увеличении  целевая функция увеличится. Это значит, что максимум целевой функции не достигнут и данную переменную следует перевести в базисные.

Из (8) видно, что при = 0 увеличение  уменьшает , поэтому  нужно сделать свободной.

Теперь новый базис образуют переменные .

Разрешая (4) относительно новых базисных переменных, получаем:

                      (10)                

Целевая функция при этом принимает вид:

                       (11)

Из (11) видим, что при увеличении свободных переменных и  значение q уменьшается. Следовательно, при данном базисе достигается максимум целевой функции qи решением рассмотренной задачи будет следующий набор переменных:

= = 0,

При этом q=3=мах.

Рассмотренный метод решения задачи линейного программирования обладает тем недостатком, что связан с громоздкими преобразованиями системы линейных уравнений из одной формы в другую. Значительного упрощения преобразований можно добиться, если представить уравнение в виде таблиц, содержащих коэффициенты при переменных. Переход от одной системы уравнений к другой при этом сводится к пересчету коэффициентов в таблицах, что осуществляется по чисто формальным правилам, хорошо приспособленным к тому же для решения на ЭВМ.